该文章于 2025-5-4 19:52 最先发布在我们同学之间的一个小平台上。后来尝试同步到 B 站专栏，笑死，根本不支持 Markdown，没办法只能发了张图片。

但是没关系，我这里支持啊。

前（fei）言（hua）

我们数学老师讲了多面体欧拉定理之后，说世界上只有 5 种正多面体——正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体，而不存在正 114514 面体（当然这句话是我自己说的），感兴趣的同学可以课后尝试证明。

为了不让我宝贵的青春、宝贵的生命浪费在期中考试后意义不明的晚自习中，我在此期间探索证明了世界上确实不存在正 114514 面体。

正文

多面体欧拉定理

对于一个多面体，记其顶点数为 VV (Vertex)，棱数为 EE (Edge)，面数为 FF (Flat surface)，则有：

V+F−E=2V+F-E=2

这个我不知道怎么证 这个这里不多赘述。

正多面体的定义

正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

——百度百科

证明

设一个正 FF 面体，顶点数为 VV，棱数为 EE（F,V,E∈N∗F,V,E \in \mathbb{N}^*），每个面为一个正 nn 边形（n∈Z,n≥3n \in \mathbb{Z}, n \ge 3）。

它的每个面都有 nn 条边，每条边都作为一条棱，被两个面共用，则有：

E=12nFE = \frac{1}{2}nF

记正 nn 边形的一个内角为 α\alpha，则有：

α=π−2πn=n−2nπ\alpha = \pi - \frac{2\pi}{n} = \frac{n-2}{n}\pi

设每个顶点被 mm 个面共用（m∈Z,m≥3m \in \mathbb{Z}, m \ge 3）。要想让一个顶点上连的面能够折成立体，那把每面平铺下来必须转不满一圈，即：

mα<2πm\alpha < 2\pi

将 α=n−2nπ\alpha = \frac{n-2}{n}\pi 代入，整理得：

m<2+4n−2m < 2 + \frac{4}{n-2}

在 m∈Z,m≥3m \in \mathbb{Z}, m \ge 3 的限制条件下，取不同的 nn 的值，解这个不等式：

nn 取值 mm 取值范围 mm 枚举值
n=3n=3 m<6m<6 m=3,4,5m=3,4,5
n=4n=4 m<4m<4 m=3m=3
n=5n=5 m<103m < \frac{10}{3} m=3m=3
n≥6n \ge 6 m<3m<3 m∈∅m \in \varnothing

这样，我们就得到了有限种情况。（聪明的宝宝已经预感到正 114514 面体不存在了）废话

每一面有 nn 个顶点，而每个顶点被 mm 个面共用，则有：

V=nFmV = \frac{nF}{m}

现在，代入多面体欧拉定理：

V+F−E=2V+F-E=2

nFm+F−12nF=2\frac{nF}{m} + F - \frac{1}{2}nF = 2

整理，得：

F=4m2m+2n−mnF = \frac{4m}{2m+2n-mn}

将上面得到的 m,nm,n 的取值分别代入，得：

nn mm FF
3 3 4
3 4 8
3 5 20
4 3 6
5 3 12

由上表得，只存在 5 种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

所以，不存在正 114514 面体。

Quod Erat Demonstrandum Miau~