初始问题

一个弹簧，自身质量为 m0m_0，劲度系数为 kk。重力加速度为 gg。将弹簧竖直悬挂，它的伸长量 Δx\Delta x 是多少？

一个想当然的答案是，根据胡克定律 F=kΔxF = k \Delta x：

Δx=m0gk\Delta x = \frac{m_0 g}{k}

这就等价于，给一个劲度系数为 kk 的轻质弹簧，下面挂了一个质量为 m0m_0 的物块。但真的是这样吗？

定性分析

按上面的理想情况，弹簧的各部分的“伸长程度”应该是一致的，都在受到大小为 m0gm_0 g 的力的拉伸。然而在实际情况下，弹簧只有最上面受到的力是完整的 m0gm_0 g，而越往下，弹簧上的一点只受到来自它下面的部分的拉力，而它上面的部分不算，因此受到的拉力应为越来越小，“伸长程度”也就越来越小。最终，弹簧会呈现出上疏下密的状态，而只有最上面一点是和理想情况下一样疏的，这样全部加起来，总伸长量势必小于 m0gk\displaystyle \frac{m_0 g}{k}。

spring.png

近似如上图，C 为理想情况，B 为实际情况。

嗯，那么它具体是多少呢？

定量分析

用微元法。把弹簧均匀地切成无数（这里设为 nn，n→+∞n \to +\infty）个小段，每一小段受到自身重力的影响可忽略不计，视作理想的轻质弹簧。将每一小段的伸长量加起来，就是总伸长量。

计算每一小段的劲度系数

将弹簧横放（消除重力影响），用大小为 FF 的力拉它，有：

Δx=Fk\Delta x = \frac{F}{k}

均匀地切成 nn 小段，则每一小段的伸长量 Δx′\Delta x' 为：

Δx′=Δxn=Fnk\Delta x' = \frac{\Delta x}{n} =\frac{F}{nk}

此时弹簧上应处处张力相等，均为 FF。那么再用一次胡克定律，可得到每一小段的劲度系数 k′k' 为：

k′=FΔx′=F⋅nkF=nkk' = \frac{F}{\Delta x'} = F \cdot \frac{nk}{F} = nk

计算每一小段的伸长量

将弹簧竖直悬挂。关注从下往上数的第 ii 小段（i=1,2,3,…,ni = 1, 2, 3, \dots, n），此处的张力 TiT_i，即它下面的部分的重力为：

Ti=i−1n⋅m0gT_i = \frac{i - 1}{n} \cdot m_0 g

那么它的伸长量 Δxi\Delta x_i 为：

Δxi=Tik′=(i−1)m0gn⋅1nk=(i−1)m0gn2k\Delta x_i = \frac{T_i}{k'} = \frac{(i - 1) m_0 g}{n} \cdot \frac{1}{nk} = \frac{(i - 1) m_0 g}{n^2 k}

求和

将每一小段的伸长量都加起来，得到总伸长量 Δx\Delta x：

Δx=lim⁡n→+∞∑i=1nΔxi=lim⁡n→+∞∑i=1n(i−1)m0gn2k=lim⁡n→+∞m0gn2k∑i=1n(i−1)=lim⁡n→+∞m0gn2k⋅n(n−1)2=lim⁡n→+∞(1−1n)m0g2k=m0g2k\begin{aligned} \Delta x & = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i= 1}^{n} \Delta x_i \\ & = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{(i - 1) m_0 g}{n^2 k} \\ & = \lim_{n \to +\infty} \frac{m_0 g}{n^2 k} \sum_{i = 1}^{n} (i - 1) \\ & = \lim_{n \to +\infty} \frac{m_0 g}{n^2 k} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} \\ & = \lim_{n \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \frac{m_0 g}{2k} \\ & = \frac{m_0 g}{2k} \end{aligned}

也可以用图像法：

抱歉，我直觉认为这里有个图像，是过原点的倾斜直线，横坐标与弹簧上一小段的位置有关，纵坐标与该点的“伸长程度”有关，线下面积是一个直角三角形，加起来就能直接得到 m0g2k\displaystyle \frac{m_0 g}{2k}。但我实在想不出来严谨的横、纵坐标应该是什么。

我查了一下，需要引入一个新的物理量“线应变”，用来表示我所说的“伸长程度”。我就不去捣鼓新东西了。

实际上，这相当于往轻质弹簧的重心位置塞了一个质量为 m0m_0 的物块，只让上半部分伸长，下半部分不伸长，而不是把它挂在最下面。这也符合我们一般对重力的简化处理。（如果你不关心弹簧内部的疏密分布的话）

弹簧还能用吗？

在高中物理实验中，我们常将弹簧竖直悬挂后，取此时的长度为新的“原长”。但是，如果考虑到上述的影响，弹簧还符合胡克定律吗？

依旧将弹簧切成 nn 小段，此时第 ii 小段处的张力：

Ti′=i−1n⋅m0g+FT_i' = \frac{i - 1}{n} \cdot m_0 g + F

这一小段的伸长量：

Δxi′=Ti′nk=[(i−1)m0gn+F]1nk=(i−1)m0gn2k+Fnk\Delta x_i' = \frac{T_i'}{nk} = \left[ \frac{(i - 1) m_0 g}{n} + F \right] \frac{1}{nk} = \frac{(i - 1) m_0 g}{n^2 k} + \frac{F}{nk}

求和：

Δx′=lim⁡n→+∞∑i=1nΔxi′=lim⁡n→+∞∑i=1n[(i−1)m0gn2k+Fnk]=Fk+lim⁡n→+∞∑i=1n(i−1)m0gn2k=Fk+m0g2k\begin{aligned} \Delta x' & = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i= 1}^{n} \Delta x_i' \\ & = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^{n} \left[ \frac{(i - 1) m_0 g}{n^2 k} + \frac{F}{nk} \right] \\ & = \frac{F}{k} + \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{(i - 1) m_0 g}{n^2 k} \\ & = \frac{F}{k} + \frac{m_0 g}{2k} \end{aligned}

所以，弹簧实际上还是能正常使用的。